六年级上册数学知识点最新

2022-07-15 21:51:22 浏览：346 作者：管理员

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数学既来自现实世界的直接抽象，也来自人类思维的劳动创造。那么，你知道六年级的数学知识点是什么吗？本期小编整理了6年级学生的数学知识点。请作为参考。六年级上册数学知识点。

，六年级上册数学知识点，第一部分数与代数，一、分数乘法，一、分数乘法计算法则：一、分数与整数乘法：以分子与整数乘法的乘积为分子，分母不变。 (整数和分母的约一半)，2，分数和分数相乘)分子相乘的积为分子，分母相乘的积为分母。3、为了简化计算，能约分的要先约分后计算。注意：对带分数进行乘法计算时，请将带分数作为暂定分数后再进行计算。 ((二)定律) )乘法运算大的)，一个数) 0除外)乘以大于1的数，乘积大于该数。将一个数(不包括0 )乘以小于1的数) 0，乘积小于这个数。一个数(不包括0 )乘以1，乘积等于这个数。 (三)分数混合运算的运算顺序与整数的运算顺序相同。(四)整数乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于分数乘法。乘法的交换律： ab=ba，乘法的结合律： (ab ) c=a) bc )，乘法的分配律： (a b ) c=ACBCACBC=) a b ) c、d、分数乘法的解决问题(详情或“占”、“是”、“比”，然后2、求一个数的数倍：求一个数数倍；求一个数的几分之几：一个数。3、编写数量关系式的诀窍：“的”相当于“”，“占”、“是”、“比”、“相当”相当于“=”，“2”分数前为“的”。 “1”单位的量) )。强调相互之间是倒数，即倒数是两个数的关系，它们相互依存，倒数不是单独存在的。 (分清谁是谁的倒数。2、求倒数的方法：(不要在原数和倒数之间写等号哦)、(1)求分数倒数)交换分子分母的位置。)2)求整数的倒数：把整数看作分母为1的分数，交换分子分母的位置。)3)求带分数的倒数)把带分数作为假分数，求倒数。)4)求小数倒数)将小数分成分数，求倒数。3、11=1,1、1，所以1的倒数为1；找不到0乘以1的数，所以0没有倒数。4、对于任意数a(a0 )，其倒数为1/a；非零整数a的倒数为1/a；得分b/a倒数为a/b；5、真分数的倒数大于1的假分数的倒数小于1以下带分的倒数小于1。(二)分数除法，指1、分数除法)、分数除法与整数除法意义相同，表示已知两个因式的乘积和一个因式，求另一个因式的运算。2、分数除法的计算法则：除以非0的数，等于乘以该数的倒数。3、定律(分数除法大时)、)1)除数大于1，商小于被除数时；)2)除数小于1 (0以外)时，商大于被除数，(3)，除数为1，商等于被除数时。 4、“[ ]”称为大括号。一个公式既有小括号，也有大括号，必须先计算小括号里的，再计算大括号里的。(三)用分数除法解决问题(详见重难点分解)、(未知单位“1”的量)用除法)知道单位“1”的几分之几、几分之几，求单位“1”的量。1、数量关系式与分数乘法解题中的关系式相同。1 )分率前是“的”，单位“1”的量分率=分率对应量，2 )分率前是“多或少”的意思。单位"1"的量(1分率)=分率对应量

、)2)通过算术)除法)分数对应量对应分数=单位"1"量，3、某个数求出其他数的几分之几使用其他数，4、求出某个数比其他数多(少)的几分之几)，或求几分之几多数(大数-小数)小数，求几分之几少) )大数，)四)比与比的应用，1、比的意思)两个数相除又称为两个数之比。2、两个数的比中，将比号之前的数称为比的前项，将比号之后的数称为比的后项。除的前项之后的项以外得到的商，称为比。比例通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。例如，15:10=1510=1.5、22、前项比号后项比、3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系. 也可以表示两个不同量的比，得到一个新的量。例如：路程速度=时间。4、区分比与比，比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比：相当于商，是1个数，可以是整数，也可以是分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数的形式。6、比与除法、分数的联系：7、比与除法、分数的区别：除法是运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。体育比赛中两队得分2:0等，这只是

一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。,(五)比的基本性质,1、根据比、除法、分数的关系：,商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。,分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。,比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。,2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。,3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。,4.化简比：,(1)用比的基本性质化简,①用比的前项和后项同时除以它们的公因数。,②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。,③两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。,(2)用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。,5.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。,如：已知两个量之比为，则设这两个量分别为。,6、路程一定，速度比和时间比成反比。(如：路程相同，速度比是4：5，时间比则为5：4),工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。,(如：工作总量相同，工作时间比是3:2，工作效率比则是2:3),三、百分数,(一)百分数的意义和写法,1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。,百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。,2、百分数和分数的主要联系与区别：,(1)联系：都可以表示两个量的倍比关系。,(2)区别：,①意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位;,分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。,②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;,分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。,3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示。,(二)百分数与小数的互化：,1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。,2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。,(三)百分数的和分数的互化,1、百分数化成分数：,先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。,2、分数化成百分数：,① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。,②先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。,(四)常见的分数与小数、百分数之间的互化,第二部分图形与几何,圆,一、认识圆,1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。,2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。,一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。,3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。,把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。,4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。,直径是一个圆内最长的线段。,5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。,6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。,7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。,用字母表示为：d=2r或r=d/2,8、轴对称图形：,如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。,折痕所在的这条直线叫做对称轴。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线),9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。,10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。,只有2条对称轴的图形是：长方形,只有3条对称轴的图形是：等边三角形,只有4条对称轴的图形是：正方形,有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。,二、圆的周长,1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。,2、圆周率实验：,在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。,3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。,(1)一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。,(2)在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。,(3)世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。,4、圆的周长公式,5、在一个正方形里画一个的圆，圆的直径等于正方形的边长。,在一个长方形里画一个的圆，圆的直径等于长方形的宽。,6、区分周长的一半和半圆的周长：,(1)周长的一半：等于圆的周长÷2,计算方法：2πr÷2 即 πr,(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。,计算方法：πr+2r,三、圆的面积,1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。,2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。,3、圆面积公式的推导：,(1)、用逐渐逼近的转化思想：体现化圆为方，化曲为直;化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。,(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。,(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。,4、环形的面积：,一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.),S环 = πR?-πr?或,环形的面积公式： S环=π(R?-r?)。,5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。,而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。,例如：,在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。,6、两个圆:半径比 = 直径比 = 周长比;而面积比等于这比的平方。,例如：,两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9,7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π,8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。,9、确定起跑线：,(1)、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。,(2)、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同),(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2×π×跑道的宽度,(4)、当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。,11、常用各π值结果：,2π = 6.28 3π = 9.42,4π = 12.56 5π = 15.7,6π = 18.84 7π = 21.98,8π = 25.12 9π = 28.26,10π = 31.4 16π = 50.24,25π = 78.5 36π = 113.04,64π = 200.96 96π = 301.44,扇形统计图,一、扇形统计图的意义：,用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。,也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。,二、常用统计图的优点：,1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。,2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。,3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。,三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。),小学六年级数学上册知识点,第一单元位置,1、什么是数对?,――数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”。,作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。,例：在方格图(平面直角坐标系)中用数对(3，5)表示(第三列，第五行)。,注：(1)在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示行。如：数对(3,2)表示第三列，第二行。,(2)数对(X，5)的行号不变，表示一条横线，(5，Y)的列号不变，表示一条竖线。(有一个数不确定，不能确定一个点),( 列，行 ),↓ ↓,竖排叫列横排叫行,(从左往右看)(从下往上看),(从前往后看),2、图形左右平移行数不变;图形上下平移列数不变。,3、两点间的距离与基准点(0，0)的选择无关，基准点不同导致数对不同，两点间但距离不变。,第二单元分数乘法,(一)分数乘法意义：,1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。,注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。,例如： ×7表示: 求7个的和是多少? 或表示：的7倍是多少?,2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。,注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。(第一个因数是什么都可以),例如： × 表示: 求的是多少?,9 × 表示: 求9的是多少?,A × 表示: 求a的是多少?,(二)分数乘法计算法则：,1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。,注：(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分),(2)约分是用整数和下面的分母约掉公因数。(整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数),2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。(分子乘分子，分母乘分母),注：(1)如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。,(2)分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的公因数。,(3)在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数),(4)分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。,(三)积与因数的关系：,一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a.,一个数(0除外)乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c,一个数(0除外)乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a .,注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。,附：形如的分数可折成( )×,(四)分数乘法混合运算,1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。,2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。,乘法交换律：a×b=b×a,乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c),乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c,(五)倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。,1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数),2、判断两个数是否互为倒数的标准是：两数相乘的积是否为“1”。,例如：a×b=1则a、b互为倒数。,3、求倒数的方法：,①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。,②求整数的倒数：整数分之1。,③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。,④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。,4、1的倒数是它本身，因为1×1=1,0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。,5、任意数a(a≠0)，它的倒数为 ;非零整数a的倒数为 ;分数的倒数是。,6、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。,假分数的倒数小于或等于1。,带分数的倒数小于1。,(六)分数乘法应用题 ――用分数乘法解决问题,1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法),“1”× =,例如：求25的是多少? 列式：25× =15,甲数的等于乙数，已知甲数是25，求乙数是多少? 列式：25× =15,注：已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。,2、( 什么)是(什么 )的。,( )= ( “1” ) ×,例1: 已知甲数是乙数的，乙数是25，求甲数是多少?,甲数=乙数× 即25× =15,注:(1)“是”“的”字中间的量“乙数”是的单位“1”的量，即是把乙数看作单位“1”，把乙数平均分成5份，甲数是其中的3份。,(2)“是”“占”“比”这三个字都相当于“=”号，“的”字相当于“×”。,(3)单位“1”的量×分率=分率对应的量,例2：甲数比乙数多(少) ，乙数是25，求甲数是多少?,甲数=乙数　±　乙数× 即25±25× =25×(1± )=40(或10),3、巧找单位“1”的量：在含有分数(分率)的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。,4、什么是速度?,――速度是单位时间内行驶的路程。速度=路程÷时间时间=路程÷速度路程=速度×时间,――单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。,5、求甲比乙多(少)几分之几?,多：(甲-乙)÷乙,少：(乙-甲)÷乙,第三单元分数除法,一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。,二、分数除法计算法则：除以一个数(0除外)，等于乘上这个数的倒数。,1、被除数÷除数=被除数×除数的倒数。例 ÷3= × = 3÷ =3× =5,2、除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。,3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。,4、被除数与商的变化规律：,①除以大于1的数，商小于被除数：a÷b=c 当b>1时，c,②除以小于1的数，商大于被除数：a÷b=c 当b<1时，c>a (a≠0 b≠0),③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c 当b=1时，c=a,三、分数除法混合运算,1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。,2、运算顺序：,①连除：属同级运算，按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化成乘法再计算;或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。,②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。,注：(a±b)÷c=a÷c±b÷c,四、比：两个数相除也叫两个数的比,1、比式中，比号(∶)前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。,注：连比如：3：4：5读作：3比4比5,2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。,例：12∶20= =12÷20= =0.6 12∶20读作：12比20,注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。,比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。,3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变。,3、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。,(1)、用比的前项和后项同时除以它们的公约数。,(2)、两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。,(3)、两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。,4、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数(或分数)，相当于商，不是比。,5、比和除法、分数的区别：,除法被除数除号(÷) 除数(不能为0) 商不变性质除法是一种运算,分数分子分数线(――) 分母(不能为0) 分数的基本性质分数是一个数,比前项比号(∶) 后项(不能为0) 比的基本性质比表示两个数的关系,附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。,分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。,五、分数除法和比的应用,1、已知单位“1”的量用乘法。例：甲是乙的，乙是25，求甲是多少?即：甲=乙× (15× =9),2、未知单位“1”的量用除法。例: 甲是乙的，甲是15，求乙是多少?即：甲=乙× (15÷ =25)(建议列方程答),3、分数应用题基本数量关系(把分数看成比),(1)甲是乙的几分之几?,甲=乙×几分之几 (例：甲是15的，求甲是多少?15× =9),乙=甲÷几分之几 (例：9是乙的，求乙是多少?9÷ =15),几分之几=甲÷乙 (例：9是15的几分之几?9÷15= )(“是”字相当“÷”号，乙是单位“1”),(2)甲比乙多(少)几分之几?,A 差÷乙= (“比”字后面的量是单位“1”的量)(例：9比15少几分之几?(15-9)÷15= = = ),B 多几分之几是： ?1 (例： 15比9少几分之几?15÷9= -1= ?1= ),C 少几分之几是：1? (例：9比15少几分之几?1-9÷15=1? =1? = ),D 甲=乙±差=乙±乙× =乙±乙× =乙(1± ) (例：甲比15少，求甲是多少?15?15× =15×(1? )=9(多是“+”少是“?”),E 乙=甲÷(1± )(例：9比乙少，求乙是多少?9÷(1- )=9 ÷ =15)(多是“+”少是“?”),(例：15比乙多，求乙是多少?15÷(1+ )=15 ÷ =9)(多是“+”少是“?”),4、按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。,例如：已知甲乙的和是56，甲、乙的比3∶5，求甲、乙分别是多少?,方法一：56÷(3+5)=7 甲：3×7=21 乙：5×7=35,方法二：甲：56× =21 乙：56× =35,例如：已知甲是21，甲、乙的比3∶5，求乙是多少?,方法一：21÷3=7 乙：5×7=35,方法二：甲乙的和21÷ =56 乙：56× =35,方法二：甲÷乙= 乙=甲÷ =21÷ =35,5、画线段图：,(1)找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。,(2)分析数量关系。,(3)找等量关系。,(4)列方程。,注：两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。,第四单元圆,一、.圆的特征,1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.,2、圆的特征：外形美观，易滚动。,3、圆心o：圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母O表示.圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。,半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。,直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。,同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2= d=,4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。,同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。,5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。,有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角,有二条对称轴的图形：长方形,有三条对称轴的图形：等边三角形,有四条对称轴的图形：正方形,有无条对称轴的图形：圆，圆环,6、画圆,(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。,(2)画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。,二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。,1、圆的周长总是直径的三倍多一些。,2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。,即：圆周率π= =周长÷直径≈3.14,所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π) ――周长公式： c=πd, c=2πr,注：圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。,3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。,如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3,4、半圆周长=圆周长一半+直径= ×2πr=πr+d,三、圆的面积s,1、圆面积公式的推导,如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。,圆的半径 = 长方形的宽,圆的周长的一半 = 长方形的长,长方形面积 = 长 ×宽,所以：圆的面积 = 长方形的面积 = 长 ×宽 = 圆的周长的一半(πr)×圆的半径(r),S圆 = πr × r,S圆 = πr×r = πr2,2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长;反之，在周长相等的情况下，圆的面积则，而长方形的面积则最小。,周长相同时，圆面积，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。,3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。,如果: r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4,则：S1∶S2∶S3=4∶9∶16,4、环形面积 = 大圆 ? 小圆=πr大2 - πr小2=π(r大2 - r小2),扇形面积 = πr2× (n表示扇形圆心角的度数),5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。,注：一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米,一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb 厘米,6、任意一个正方形的内切圆即圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π,7、常用数据,π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7,第五单元、百分数,一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。,注：百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。,1、百分数和分数的区别和联系：,(1)联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。,(2)区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。,百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。,注：百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100的分数并不是百分数，必须把分母写成“%”才是百分数，所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。“%”的两个0要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。,2、小数、分数、百分数之间的互化,(1)百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。,(2)小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。,(3)百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。,(4)分数化百分数：分子除以分母得到小数，(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。,(5)小数化分数：把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。,(6)分数化小数：分子除以分母。,二、百分数应用题,1、求常见的百分率如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几,2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。,求甲比乙多百分之几 (甲-乙)÷乙,求乙比甲少百分之几 (甲-乙)÷甲,3、求一个数的百分之几是多少一个数(单位“1”) ×百分率,4、已知一个数的百分之几是多少，求这个数部分量÷百分率=一个数(单位“1”),5、折扣折扣、打折的意义：几折就是十分之几也就是百分之几十,折扣成数几分之几百分之几小数通用,八折八成十分之八百分之八十 0.8,八五折八成五十分之八点五百分之八十五 0.85,五折五成十分之五百分之五十 0.5 半价,6、纳税缴纳的税款叫做应纳税额。,(应纳税额)÷(总收入)=(税率),(应纳税额)=(总收入)×(税率),7、利率,(1)存入银行的钱叫做本金。,(2)取款时银行多支付的钱叫做利息。,(3)利息与本金的比值叫做利率。,利息=本金×利率×时间,税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5%,注：国债和教育储蓄的利息不纳税,8、百分数应用题型分类,(1)求甲是乙的百分之几――(甲÷乙)×100% = ×100% = 百分之几,(2)求甲比乙多(少)百分之几―― ×100% = ×100%,例,① 甲是50，乙是40，甲是乙的百分之几?(50是40的百分之几?)50÷40=125%,② 甲是50，乙是40，乙是甲的百分之几?(40是50的百分之几?)40÷50=80%,③ 乙是40，甲是乙的125%，甲数是多少?(40的125%是多少?)40×125%=50,④ 甲是50，乙是甲的80%，乙数是多少?(50的80%是多少?)50×80%=40,⑤ 乙是40，乙是甲的80%，甲数是多少?(一个数的80%是40，这个数是多少?)40÷80%=50,⑥ 甲是50，甲是乙的125%，乙数是多少?(一个数的125%是50，这个数是多少?)50÷125%=40,⑦ 甲是50，乙是40，甲比乙多百分之几?(50比40多百分之几?)(50-40)÷40×100%=25%,⑧ 甲是50，乙是40，乙比甲少百分之几?(40比50少百分之几?)(50-40)÷50×100%=20%,⑨ 甲比乙多25%，多10，乙是多少?10÷25%=40,⑩ 甲比乙多25%，多10，甲是多少?10÷25%+10=50,? 乙比甲少20%，少10，甲是多少?10÷20%=50,? 乙比甲少20%，少10，乙是多少?10÷20%-10=40,? 乙是40，甲比乙多25%，甲数是多少?(什么数比40多25%?)40×(1+25%)=50,? 甲是50，乙比甲少20%，乙数是多少?(什么数比50多25%?)50×(1-20%)=40,? 乙是40，比甲少20%，甲数是多少?(40比什么数少20%?)40÷(1-20%)=50,? 甲是50，比乙多25%，乙数是多少?(50比什么数多25%?)40÷(1+25%)=40,第六单元、统计,1、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。,2、常用统计图的优点：,(1)、条形统计图直观显示每个数量的多少。,(2)、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。,(3)、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。,第七单元、数学广角,一、研究中国古代的鸡兔同笼问题。,1、用表格方式解决有局限性，数目必须小，例：,头数鸡(只)兔(只) 腿数,35 1 34,35 2 33,35 3 32,……,(逐一列表法、腿数少，小幅度跳跃;腿数多，大幅度跳跃。跳跃逐一相结合、取中列表),2、用假设法解决,(1) 假如都是兔,(2) 假如都是鸡,(3) 假如它们各抬起一条腿,(4) 假如兔子抬起两条前腿,3、用代数方法解(一般规律),注释：这个问题，是我国古代趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?,二、和尚分馒头,100个和尚吃100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚三人吃一个。大小和尚各多少人?,国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：,一百馒头一百僧，,大僧三个更无争，,小僧三人分一个，,大小和尚各几丁?",如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人?,方法一，用方程解：,解：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意列得方程：,3x + (100-x)=100,x=25,100-25=75人,方法二，鸡兔同笼法：,(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个?,3×100=300(个).,(2)这样多吃了几个呢?,300-100=200(个).,(3)为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头?,3- = (个),(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：,小和尚：200÷ =75(人),大和尚：100-75=25(人),方法三，分组法：,由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷(3+1)=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚;又因为每组有3个小和尚，所以有25×3=75个小和尚。,这是《直指算法统宗》里的解法，原话是："置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。"所谓"实"便是"被除数"，"法"便是"除数"。列式就是：,100÷(3+1)=25(组),大和尚：25×1=25(人),小和尚：100-25=75(人)或25×3=75(人),我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。,三、整数、分数、百分数应用题结构类型,(一)求甲是乙的几倍(或几分之几或百分之几)的应用题。,解法：甲数除以乙数,例：校园里有杨树40棵，柳树有50棵，杨树的棵树占柳树的百分之几?(或几分之几?),(二)求甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少的应用题。,解答分数应用题，首先要确定单位“1”，在单位“1”确定以后，一个具体数量总与一个具体分数(分率)相对应，这种关系叫“量率对应”，这是解答分数应用题的关键。,求一个数的几倍(几分之几或百分之几)是多少用乘法，单位“1”×分率=对应数量,例：六年级有学生180人，五年级的学生人数是六年级人数的56 。五年级有学生多少人?,180×56 =150,(三)已知甲数的几倍(或几分之几或百分之几)是多少，求甲数(即求标准量或单位“1”)的应用题。,解法：对应数量÷对应分率=单位“1”,例：育红小学六年级男生有120人，占参加兴趣活动小组人数的35 . 六年级参加兴趣活动小组人数共有学生多少人?,120÷35 =200(人),如何快速学好数学,一、课内重视听讲，课后及时复习。,新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。,首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。,认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。,二、适当多做题，养成良好的解题习惯。,要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。,对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。,在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。,三、调整心态，正确对待考试。,首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。,调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。,在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分;对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。,由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。,
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